Wie Viele Symmetrieachsen Hat Ein Rechteck

Figuren mit ihren Symmetrieachsen (gestrichelt). Die Figur unten rechts ist nicht achsensymmetrisch.

Achsensymmetrie ist dice spiegelbildliche Anordnung von Zeichen zu beiden Seiten einer gedachten Linie.^[1] In der Geometrie sind axiale Symmetrie oder Axialsymmetrie gleichbedeutende Bezeichnungen dieser Eigenschaft. Eine Figur heißt achsensymmetrisch, wenn sie durch dice senkrechte Achsenspiegelung an ihrer Symmetrieachse auf sich selbst abgebildet wird.

Im Falle einer zweidimensionalen Figur ist Achsensymmetrie gleichbedeutend mit Spiegelsymmetrie . In dreidimensionalen Räumen entspricht dice Achsensymmetrie hingegen einer Drehsymmetrie um 180° (während dice Spiegelsymmetrie im Dreidimensionalen eine Symmetrie zu einer Symmetrieebene ist).

Definition [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Figur ist achsensymmetrisch, falls es eine Gerade thou gibt, so dass es zu jedem Punkt P der Figur einen weiteren (eventuell mit P identischen) Punkt P' der Figur gibt, so dass die Verbindungsstrecke [PP'] von dieser Geraden rechtwinklig halbiert wird.

Eine ebene Figur F heißt achsen- oder axialsymmetrisch, wenn sich in ihrer Ebene eine Gerade yard angeben lässt, so dass F durch Spiegelung an g in sich selbst übergeführt wird.^[two]

Die Gerade thousand wird dann Symmetrieachse genannt.

Beispiele [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• Wie human being in der nebenstehenden Abbildung erkennen kann, hat das Quadrat genau vier Symmetrieachsen. Vierecke, dice keine Quadrate sind, haben weniger oder gar keine Symmetrieachsen. Ein Rechteck hat zum Beispiel immer noch zwei Symmetrieachsen, und zwar die beiden Mittelsenkrechten der gegenüberliegenden Seiten und das gleichschenklige Trapez, das Drachenviereck und das Antiparallelogramm besitzen noch mindestens eine Symmetrieachse.
• Der Kreis hat sogar unendlich viele Symmetrieachsen, da dieser bezüglich jedes Durchmessers symmetrisch ist.
• Eine andere Figur mit unendlich vielen Symmetrieachsen ist die Gerade. Sie ist unendlich lang und damit symmetrisch bezüglich jeder zu ihr senkrechten Achse, sowie der auf ihr selbst liegenden Achse.
• Nicht nur 2-dimensionale Figuren können achsensymmetrisch sein. So ist die Kugel bezüglich jeder Gerade durch den Mittelpunkt achsensymmetrisch. Dies darf homo nicht mit der Ebenensymmetrie verwechseln. Die Kugel ist auch ebenensymmetrisch. Das heißt, sie ist symmetrisch bezüglich einer Spiegelung an einer Ebene, die den Mittelpunkt der Kugel enthält.
• Auch der Quader ist achsensymmetrisch.
• Der Graph der Kosinus-Funktion ist ebenfalls achsensymmetrisch zur y-Achse. Das Thema achsensymmetrischer Funktionen wird im folgenden Abschnitt genauer betrachtet.

Achsensymmetrie von Funktionsgraphen [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Überblick [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Funktion, deren Graph achsensymmetrisch zur Gerade x=a ist

Eine vor allem in der Schule beliebte Aufgabe besteht darin, für den Graphen einer Funktion ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$ dice Achsensymmetrie nachzuweisen. Ist die y-Achse des Koordinatensystems die Symmetrieachse, so muss gezeigt werden, dass die Gleichung

${\displaystyle f(-x)\,=\,f(10)}$

für alle x des Definitionsbereichs ${\displaystyle D}$ erfüllt ist. Dann sagt man, dass der Graph der Funktion ${\displaystyle f}$ symmetrisch bezüglich der y-Achse ist. Solche Funktionen nennt man auch gerade Funktionen. Diese Bedingung besagt, dass die Funktionswerte der Argumente ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle -10}$ übereinstimmen müssen.

Möchte homo allgemeiner die Achsensymmetrie eines Funktionsgraphen bezüglich einer beliebigen zur y-Achse parallelen Geraden mit der Gleichung ${\displaystyle x=a}$ untersuchen, and then muss man testen, ob dice Funktion ${\displaystyle f}$ die Gleichung

${\displaystyle f(a-x)\,=\,f(a+x)}$

für ein festes ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ und für alle ${\displaystyle 10}$ aus dem Definitionsbereich erfüllt. Durch Commutation von ${\displaystyle ten}$ mit ${\displaystyle x-a}$ erhält human being dice äquivalente Bedingung

${\displaystyle f(2a-x)\,=\,f(ten).}$

Beispiele [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Beispiel dient dice quadratische Funktion

${\displaystyle f(10)\,=\,ten^{ii}-one.}$

Anwendung der genannten Bedingung für dice Achsensymmetrie in Bezug auf die y-Achse ergibt

${\displaystyle f(-x)\,=\,(-10)^{2}-1=x^{2}-1=f(x).}$

Der Graph (eine Parabel) ist as well symmetrisch bezüglich der y-Achse.

Nun wird ein Beispiel einer Funktion angeführt, deren Graph nicht symmetrisch bezüglich der y-Achse, aber doch achsensymmetrisch ist. Dice Funktion

${\displaystyle f(x)=10^{2}-4x+3}$

ist ein solches Beispiel. Die Behauptung ist, dass der Graph von ${\displaystyle f}$ achsensymmetrisch in Bezug auf die Senkrechte ${\displaystyle x=two}$ ist. Es gilt too ${\displaystyle a=2}$ und daraus folgt

${\displaystyle {\begin{aligned}f(2a-10)&=f(4-10)\\&=(4-x)^{two}-4(4-x)+iii\\&=(xvi-8x+x^{2})-(sixteen-4x)+iii\\&=16-8x+x^{two}-sixteen+4x+3\\&=x^{2}-4x+iii\\&=f(x)\terminate{aligned}}}$

Damit ist die Vermutung der Achsensymmetrie bestätigt.

Allgemein ist der Graph einer quadratischen Funktion ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ achsensymmetrisch bezüglich der vertikalen Geraden durch den Scheitelpunkt ${\displaystyle S=(x_{s},y_{south})}$ . Das sieht man leicht, wenn man den Funktionsterm in Scheitelpunktform ${\displaystyle f(x)=a(x-x_{south})^{two}+y_{s}}$ umschreibt.

Rotationskörper [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Klasse achsensymmetrischer Körper im 3-dimensionalen Raum sind die Rotationskörper. Ein dreidimensionales Objekt ist ein Rotationskörper, wenn eine Drehung um jeden beliebigen Winkel um eine fixierte Achse das Objekt auf sich selbst abbildet. Diese Achse ist die Symmetrieachse. Das einfachste Beispiel eines Rotationskörpers ist der Zylinder.

Ebenensymmetrie [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine andere Verallgemeinerung der Achsensymmetrie auf den 3-dimensionalen Raum ist die Ebenensymmetrie. Eine Figur ist ebenensymmetrisch, falls es eine Ebene gibt, then dass unter Spiegelung an dieser die Figur auf sich selbst abgebildet wird.

Literatur [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1. ↑ Achsensymmetrie. In: Duden online. Abgerufen am 21. November 2019.
2. ↑ Arnfried Kemnitz: Mathematik zum Studienbeginn. Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge. 9. überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Wiesbaden 2010, ISBN 978-iii-8348-1293-3, Southward.144 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 21. November 2019]).

Source: https://de.wikipedia.org/wiki/Achsensymmetrie

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